April 20, 2017

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By Bodo Pareigis

Die computing device Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den computing device erschlossen werden. Die laptop Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der computing device Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der computing device Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der machine Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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3 auch B f l C ein affiner Unterraum. Sei y G B fl C. Dann ist r(x,y) = t> G ^ ( ^ ) H T(C), also y = v + 3 G ( T ( B ) fl T ( C ) ) + s. Ist umgekehrt t; G T ( £ ) fl T ( C ) , so gilt i ; + x G 2? D C. Damit sind die beiden Mengen gleich. 6 D e f i n i t i o n : Sei (A,V,r) Die Dimension ein affiner Raum. von A wird definiert als dim(^4) := d i m ( V ) . 7 B e i s p i e l : V als Punktmenge zusammen mit dem Translationsraum V und der Abbildung r: V x V — • V , r(v,w) := w — v ist ein affiner R a u m .

M a n sieht, daß sich in diesem Dreieck die Winkel zu 180° aufsummieren. Tatsächlich hätten wir auch nichts anderes erwartet. M a n kann nämlich den Satz über die Winkelsumme i m Dreieck ganz allgemein in den von uns eingeführten Begriffen beweisen. Nachdem uns jetzt die Begriffe der Norm und der Orthogonalität von Vektoren zur Verfügung stehen, können wir uns mit dem für euklidische Vektorräume geeigneten Basisbegriff befassen. E r kommt der geometrischen Vorstellung sehr viel mehr entgegen, als der in Kapitel 1 eingeführte allgemeine Begriff einer Basis.

R(y,b), = also Sei umgekehrt X y U m nun zu zeigen, daß ein affiner Unterraum vorliegt, sei b G B. T(B). B}. ein Unterraum ist, gibt es ein V G B mit r(x,6') = r ( x , y ) + r(aj,6) = r ( x , y) + r ( y , V). Daher muß r(x,b) = r(y,b') G T {B) r ( z , b) G T(B), A. von also 6 = r ( x , 6) + x. Daraus folgt B C T(B) D a n n ist r ( x , 6) + z = 6 G B, also auch T ( ß ) + x C 5 . gelten. Dann ist + x. 2 und der Beschreibung von affinen Unterräumen haben wir jetzt schon drei Methoden, u m affine Räume angeben zu können.

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