April 20, 2017

Download Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von by Ehrhard Behrends PDF

By Ehrhard Behrends

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Dann w¨ urde durch Multiplikation dieser Ungleichung mit x > 0 mit Hilfe von (iii) auch 1 < 0 folgen, was wegen (vii) nicht m¨oglich ist. Auch x−1 = 0 scheidet aus, denn das liefert nach Multiplikation mit x den Widerspruch 1 = 0. Fazit: Es bleibt nur x−1 > 0 u ¨brig. Der zweite Teil der Aussage wird genauso bewiesen. (ix) Da muss man nur den Fall =“ jeweils noch extra diskutieren, als Beispiel ” betrachten wir die Aussage (iv). Gilt da x = y, so ist sicher auch x + z = y + z. 36 KAPITEL 1. DIE MENGE R DER REELLEN ZAHLEN Kurz: Die Aussage bleibt richtig, wenn es ≤ statt < heißt.

DIE MENGE R DER REELLEN ZAHLEN Vollst¨ andige Induktion oder P¨ unktchen“? ” Anschaulich ist nat¨ urlich nk=1 xk = x1 + x2 + · · · + xn . Durch die saubere Definition konnten wir die P¨ unktchen · · ·“ vermeiden. ” Umgekehrt: Wenn Sie in einem mathematischen Zusammenhang P¨ unktchen · · ·“ antreffen, so wollte jemand sehr wahrscheinlich eine ” vollst¨andige Induktion bei einem Beweis oder einer Definition einsparen. Das ist h¨aufig von Vorteil, da Beweise und Definitionen in P¨ unktchen-Schreibweise oft plausibler werden, etwa: n!

Sei M eine Menge, wir betrachten die innere Komposition ∪“ (Vereinigung) ” auf P(M ). Das ist eine kommutative innere Komposition, denn x geh¨ ort zu ” A oder x geh¨ort zu B“ ist f¨ ur zwei Teilmengen A und B von M offensichtlich gleichwertig zu x geh¨ort zu B oder x geh¨ ort zu A“(mehr dazu auf Seite 23). ” Versuchen Sie, auch die G¨ ultigkeit der folgenden Aussagen zu beweisen: • ∪ ist eine assoziative innere Komposition. • ∅ (die leere Menge) ist neutrales Element bzgl. ∪. • ∅ ist das einzige Element in P(M ), das bzgl.

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