April 20, 2017

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By Patrice Tauvel

Cours et exercices corrigés sur l. a. théorie des fonctions d'une variable complexe, mettant en valeur los angeles place privilégiée de l'analyse complexe, située entre l. a. géométrie différentielle, l. a. topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

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Pour toute application g : R → C, posons g = sup{|g(x)| ; x ∈ R}. D’après les hypothèses, il existe un entier N tel que P n − PN 1 dès que n N . N , le polynôme Pn − PN est donc constant. Ainsi, il existe α n ∈ C tel que Si n Pn = PN + αn pour n N . Il est alors immédiat que f est une fonction polynôme. 3. 1. Si 0 a < 1, on a limn nan = 0. On en déduit que (fn )n converge simplement vers l’application nulle sur [0, 1]. D’autre part : 1 n 1 1 = 1− fn → · n n e La convergence vers 0 de la suite (f n )n n’est donc pas uniforme sur [0, 1].

Dn une série divergente à termes réels strictement positifs. On pose Dn = nn=0 dk , un = dn /Dn , et vn = dn /(Dn )α , avec α réel strictement plus grand que 1. Etudier les séries un et vn . 3. 4. Soit pose Rn = 1. Si a +∞ n+1 up un une série convergente à termes réels strictement positifs. On et vn = un /(Rn−1 )a , où a ∈ R. 0, prouver la convergence de vn . 2. En étudiant xn = − ln(1 − vn ), montrer la divergence de pour a > 1. 3. En utilisant une intégrale, prouver la convergence de vn pour a = 1, puis vn si 0 < a < 1.

On suppose qu’il existe A ∈ R + tel que |f (t)| A pour tout t ∈ I . Alors, pour a, b ∈ I , on a |f (b) − f (c)| 2A|b − a|. Démonstration. Notons g (respectivement h) la partie réelle (respectivement partie imaginaire) de f . D’après le théorème des accroissements finis, il existe c, d compris entre a et b tels que : g(b) − g(a) = (b − a)g (c) , h(b) − h(a) = (b − a)h (d). On en déduit : |f (b) − f (a)| |g(b) − g(a)| + |h(b) − h(a)| = |b − a|(|g (c)| + |h (d)|) 2A|b − a|. D’où le lemme. 2. Soient I un intervalle de R et f = (f n )n une suite de fonctions sur I vérifiant les conditions suivantes : (i) Toutes les fonctions f n sont dérivables sur I .

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